Какво представляват фракталите?

Фракталите са изящни структури, създадени от природата, които се крият навсякъде около нас…….

Трудно е да се дефинират точно, въпреки че повечето са свързани с набор от четири общи фрактални характеристики: безкрайна сложност, симетрия на увеличението, сложност от простота и дробни измерения – всички те ще бъдат обяснени по-долу.

Папратта предоставя страхотна илюстрация на тези характеристики. Ако погледнем по от близо, първо ще забележим, че формата на папратта е със сложни детайли. Забележително е, че може да видим, че листата са оформени като малки копия на клоните. Всъщност цялата папрат е изградена предимно от една и съща основна форма, повтаряна отново и отново във все по-малки мащаби. Най-удивителното от всичко е, че фракталната математика разкрива, че това скромно папратово листо не е нито едноизмерна нито двуизмерна форма, а витае някъде по средат.

Каква точно форма има тази папрат?

Класическата Евклидова геометрия, преподавана в гимназията, ни поставя в затруднение да отговорим на този прост въпрос. Въпреки, че цилиндрите и правоъгълниците може да са страхотни за моделиране на формите на технологиите, в света на природата има много малко правилни форми.

Как можем да опишем папратта като точна математическа форма? Как можем да изградим математически модел на този прекрасен обект? Навлизаме в напълно нов свят на красиви форми: клон на математиката, известен като фрактална геометрия.

Безкрайна сложност

Много модели на природата са толкова нередовни и разпокъсани, че в сравнение с Евклид… Природата проявява не просто по-висока степен, но съвсем различно ниво на сложност. – Беноа Манделбрьот, „Фракталната геометрия на природата“

През 1861 г. откриването на първия в света фрактал разтърси математическата общност. Ако вземем химикал и нарисуваме зиг-заг, трябва да получим няколко остри ъгли, свързани с плавни линии. За да покаже, че това може да се направи, немският математик Карл Вайерщрас конструира зиг-заг, който е толкова назъбен, че не е нищо друго освен ъгли – най-доброто математическо стакато. Без значение, колко пъти е увеличена формата, всеки проблясък на гладка линия неизменно ще се разтвори в безкрайна каскада от ъгли, опаковани все по-плътно един до друг. Формата на  Вайерщрас има неправилни детайли във всеки възможен мащаб – първата ключова характеристика на фракталната форма. Математиците определят формата на Вайерщрас като „патологична“, тъй като тя се противопоставя на изпитаните инструменти на смятане, които са толкова старателно сглобени през предходните няколкостотин години.

Симетрия на увеличението

С други думи, установих, че конструирам геометрия… от неща, които нямаха геометрия. – Беноа Манделбрьот, 1924-2010

Разцветът на фракталната геометрия в нов клон на математиката до голяма степен се дължи на родения в Полша математик Беноа Манделбрьот и неговото основополагащо есе от 1977 г. „Фракталната геометрия на природата“. Може би най-известният фрактал днес е наборът на Манделбрьот (както е показано по-долу), кръстен на своя откривател. Невъзможно е да се начертае точно, но може да се направи приблизително чрез старателно оцветяване на всяка точка в равнината поотделно.

Наборът на Манделбрьот, може да бъде начертан само от компютри. Да обърнем внимание как по-малките части от комплекта много приличат на цялото. За да изберем правилния цвят за конкретна точка, ние прилагаме просто правило за движение към точката отново и отново и наблюдаваме колко време е необходимо на точката да „избяга“ от страницата. Въпреки че е практически невъзможно да се създават на ръка, съвременните интерактивни аплети (като този, създаден от британския дизайнер Пол Нийв) ни позволяват да създаваме и изследваме тези комплекти в реално време.

Тези компютърни програми ни позволяват да забележим нов вид симетрия, свързана с фракталите. За математиците симетрията е действие, което, когато се приложи към форма, ще я остави да изглежда (повече или по-малко) същата. Например, казваме, че квадратът има ротационна симетрия, защото няма начин да разберете дали квадратът е бил завъртян на 90 градуса, когато не сте гледали. Безкрайната сложност на фракталите им позволява напълно нов тип симетрия, която не се среща в обикновените форми. Невероятно, но приближаването на малка област от фрактал ви оставя да гледате същата форма, с която сте започнали. Малки частици от фрактала могат да изглеждат абсолютно същите като цялото.

Далеч от това да е математическо любопитство, тази симетрия на мащабиране може да се намери навсякъде в природата – след като знаете да я търсите. Светкавица разкрива своята симетрия на мащабиране за част от секундата – всеки клон прилича на малко копие на цялата форма.

Сложност от простота

Бездънните чудеса извират от прости правила, които се повтарят безкрайно. – Беноа Манделбрьот, 1924-2010

Докато Манделбрьот поставя фрактали под микроскоп, британският математик Майкъл Барнсли (понастоящем от Австралийския национален университет) подхожда към същите обекти от различен ъгъл. Въпреки че геометрията на фракталните форми е безкрайно сложна, трета черта на фракталите е, че тяхната сложност произтича от много прости основни дефиниции. Формата на фрактала може да бъде напълно уловена от малък списък от математически съпоставки, които описват точно как по-малките фрактали са подредени, за да образуват целия фрактал.

Влиятелната книга на Барнсли от 1988 г. „Fractals Everywhere“ съдържа алгоритъм, известен като Chaos Game, който позволява на компютрите бързо да генерират всяка фрактална форма от познатите й картографии. Chaos Game взима начална точка в космоса и проследява движението и, докато подскача наоколо. Всеки скок е определен чрез избиране на една от картографирафиите на случаен принцип. Забележителното е, че независимо от началната точка и реда, в който картографирането е преминало, точката бързо ще бъде засмукана от „странен атрактор“ – фракталната форма и ще танцува върху нея завинаги. Тези фрактални атрактори са в основата на теорията на хаоса. Тъй като поведението на една хаотична система също танцува около фрактален атрактор, безкрайната сложност на фракталните форми означава, че най-малкото побутване на системата може да премести точката от атрактора изцяло. Най-важното е, че Барнсли намери начин да вземе всяка желана форма и да изчисли своя списък от фрактални съпоставки. Тъй като сложната форма може да бъде напълно реконструирана от простите карти, алгоритмите на Барнсли са инструмент в новото поле на компресиране на изображения – позволявайки на оригиналното издание на Microsoft Encarta да опакова десетки хиляди изображения на един компактдиск.

Апрат от Барнсли. Не, това не е истинска папрат – това е математическо изображение, генерирано от игра на Chaos Game с четири конкретни карти. Използвайки фракталната геометрия, сложните природни форми могат да бъдат кодирани с прости математически правила. Майкъл Роуз

Дробни размери

Природата си е изиграла шега с математиците. На математиците от 19-ти век може и да им е липсвало въображение, но на природата не. – F. J. Dyson, цитиран от Беноа Манделбрьот, „The Fractal Nature of Geometry“

Последната и най-впечатляваща характеристика на фракталите е, че не са едно-, дву- или триизмерни, а някъде по средата. Природата изглежда напълно щастлива да използва дробни измерения, така че ние също трябва да сме. За да направим това, първо трябва да изясним, какво имаме предвид под „измерение“. Идеята за „измерение“ има много различни (но последователни) математически определения. Интуитивно можем да мислим за размерите на формата като мярка за това, колко груба е формата или резултат, който отразява, колко добре формата запълва околното пространство.

Тези интуитивни идеи могат да бъдат направени математически точни. За да илюстрирате дробно измерение, помислете за лист хартия, който е (на практика) двуизмерен. Твърдата сфера е триизмерна и запълва повече пространство от лист хартия. Сега смачкайте хартията на топка. Вече имате форма, подобна на фрактал, която запълва повече пространство от хартията, но не толкова пространство, колкото плътната сфера. Получава приблизително 2,5 за своето измерение. По същия начин нашите бели дробове са с размер около 2,97 – тяхната фрактална геометрия им позволява да опаковат много повърхност (няколко тенис корта) в малък обем (няколко топки за тенис). Опаковането на такава огромна повърхност в тялото ни осигурява способността да извличаме достатъчно кислород, за да останем живи.

Двуизмерен лист хартия	Триизмерна форма, подобна на фрактал, която запълва повече пространство от лист хартията, но не толкова пространство, колкото плътна сфера.

Фракталите могат да бъдат намерени навсякъде по света около вас, от скромната папрат до структурата на вселената в най-големите мащаби. Дори някои части от вашата анатомия са фрактални, включително мозъка ви. Ако имате предвид фракталите, ще бъдете поразени от огромното разнообразие от места, на които можете да ги намерите, докато изпълнявате ежедневната си рутина – от облаци, растения и пейзаж до прозорци на църкви и лаборатории…

Фракталната математика не само ни позволява да започнем да моделираме формите на природата, но също така може да събуди нашето детско удивление към света около нас.